今天习题课某人讲的是：规范对称性仅仅是一种冗余自由度表示。

要点1：我们可以从一个没有规范对称性的理论出发，添加上辅助场，凑成一个规范对称性理论；而后积掉辅助场，得到一个规范不变的理论。
这样做的结果是，会出现非定域相互作用。
规范对称性本来就是为了描述零质量自旋一玻色子的定域洛仑兹协变相互作用而引入的多余自由度。反过来，用来描述有质量粒子，自然会有这种未曾预计的效果。
Schwinger二维模型中，二维电动力学中光子只有两个时空自由度，引进多余规范自由度（严格说是一个规范自由度必须是横方向）给了光子质量。
电动力学中还有一种破坏规范对称性的方式，也就是引入手征费米子的Majorana质量项。

要点2：强耦合和弱耦合问题。
以上的讨论是关于阿贝尔规范的，这个理论没有渐进自由，在朗道极点以下能标全都适用，故我们不能在这理论中引入高阶导数项（即便它们是“规范”不变的），否则会出现鬼态或者快子——在不渐进自由的场论中，这种非物理态是需要被解释的。有效场论却没有这个问题，因为快子或鬼态都出现在截断附近，低能理论不需要理解它们，可以随便添加高阶算符，它们都是被截断压低的不相关项。这种手放快子有一个相关应用，即Pauli-Villars正规化。对非阿贝尔理论，因为出现了规范玻色子的自相互作用，纵场部分不再是自由的，如果重复量子电动力学的例子，手放高阶导数项，并且加上质量项，那么理论肯定在某个能标以上出现鬼态或快子，这时候的理论就应该不成立了。与量子电动力学的差别在于，我们的理论本来就应该在某处不成立的。带质量玻色子sector对应的就是量子色动力学的低能pi场相互作用理论。那是一个动力学自发破缺的后果——低能有效理论，在色动力学能标之上，理论变得强耦合而不可信任（准确说是无关算符项变得相关，无数非微扰效应出现）。这对我们而言却不是一个严重问题，因为我们已经知道这个低能理论有一个紫外补全，即色动力学。只是想一想在这两个能标下作为场自由度出现的“物理”态多么不同，也不难理解强耦合动力学一定会出现了。不管怎样，低能有效理论是要失效的，我们可以调整手放高阶导数项的系数，使快子高于或接近微扰崩溃的能标，那么快子的存在对低能有效理论而言，也就不是一个问题了。（对高能当然更不是问题，从威尔松有效拉氏量看，积掉一层自由度壳自然要引入一串被截断压低的高阶不相关项）

要点3：怎么看待微扰的崩溃
这个地方要尤其小心。譬如看量子电动力学，朗道极点存在，对应的就是微扰展开系数暴掉。这是不是说，我们的微扰展开方式有问题，大家应该认真研究朗道极点附近的非微扰方法呢？举个例子，我们是可以做电动力学的格点计算的，只要用费曼路径积分，最后让格点尺寸趋于零，这里面没有极点问题啊。问题在于路径积分理论不是显式幺正的。假如换成哈密顿正则方式，理论是明显幺正的，路径积分却不是。
从两点看问题或许有帮助，第一是，渐进展开本来就是一个很聪明的方法，电动力学渐进展开的阶乘系数自动相消，如果认真写出来，渐进展开本身就告诉我们存在一个位置这种展开要完蛋，即朗道极点。
另一点是，如果我们认真用格点算。。。既然要算出能算出的结果，我们其实已经取了一个原来理论的紫外补全了。这个补全的部分，也就是理论的小尺度自由度。问题在于，这种自由度完完全全是自由的，随便选。换言之，用格点我们能够算出“一个”理论的结果，而未必是“那个”理论的结果。

要点4：对偶性的发现根本上动摇了规范对称性的基本地位，试想两个不同规范群理论都可能有相同的对偶描述，这说明了什么呢？
说明规范自由度是手放进凑数的，说明规范对称性是假的，只是名字的叫法不影响性别这个普遍原理（如果你管这个叫原理的话）的一种阐述。
既然规范对称性不是真的，某个层次上说，真正重要的是整体对称性，如果它们对应物理上可观测的守恒量的话。一个例子是AdS空间内的规范对称场论，对应边界上CFT的整体对称性。

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