度规的引入•黎曼几何
欧氏几何广为人知，尤其是全局坐标结构让解析工具成为可能。如果将一般曲面考虑成欧式空间到上的映射，倒也能够诱导一套坐标，只不过这坐标没有多少用途，最大原因在于“角度”概念的失效。“角度”的一个用途是定义“直线”，而直线的好处是可以沿着它平移几何元素。相比之下，球面就很糟糕，其实球面也可以定义自己的角度和直线，只是因为这个概念跟欧式概念不同，良好的全局线性性质便失去了。举个例子，如果两个人拉着手照着不同方向走，只要他们的方向固定，在欧式平面上，手会越拉越长，走一公里时间距是一米，走十公里间距是十米。换到球面上，如果从北极出发，沿不同的经线往南极走，两人的间距会渐渐加大，走到赤道之后却又变成渐渐减小。“角度”“直线”“线性”，我们不知道什么是重要的什么可以舍弃，总之欧式的所有良好性质不能在一般曲面上保持就对了。
既然曲面坐标不是大问题，不妨保持它，但在此上附加线性结构，这就是切丛和余切丛的概念。问题来了，切平面是局部概念，坐标是全局概念，它们要怎么联系在一起呢？
一个例子可以说明这个问题，假设我们的曲面其实是平面，即映射是E到E上的，唯一的不同是坐标不再是正交，为了简化，不妨认为坐标是全局定义的平行，但不正交。这时，切平面就是平面本身，而由于保持了线性，任何切平面上的切向量可以表示成基本坐标切向量的线性组合。切向量在“曲面”上的投影形成了一条积分“曲线”，我们关心的便是这条线段的长度，这就需要一个矩阵似的张量构成坐标不变的二次型，该张量便是“度规”这个概念。
并不是有了度规就是良好的几何，现在差的是一个保证度规可以到处使用的条件。这个麻烦来自一个事实，即度规其实是一个全局张量场。张量场是个很麻烦的东西，譬如在球面上，就不存在处处良好定义的矢量场，总有两个点是不良好的，对应于每个人的头发都形成至少一个“旋”这个生活常识。除定义良好与否之外，张量场还有两个麻烦，一是不同位置的比较，二是坐标变换下的性质。不同位置张量的比较源自我们想引入欧氏微积分的野心。微积分是这么一个东西：它把小尺度的概念和大尺度的概念联系起来了。所谓小尺度，自然对应于我们在曲面上局部引入的切平面，大尺度呢？当然是张量场的某种差分。因为失掉了欧氏空间的平移，我们乍一看不知所措。这个疑难的解决很巧妙，既然我们不知道什么是平移，干脆定义平移，只需要要求这个定义自洽。数学语言来表达，我们要求“协变性”，某种意义上说，这相当于在处理复杂物理问题的时候，考虑对称性，也能导出一些禁戒定律。协变性的引入换来了禁戒律——协变微商和联络，而多余自由度也自然产生，即联络可以有很多种，这就像是说电磁场的规范自由度可以让标势取很多等效形式一样。但其实，我们不喜欢在几何问题中处理联络的自由度，于是人们固定了黎曼联络，定义它为保证度规协变微商为零的那一个。重要的不是零这个数值，而是由此黎曼联络成了度规张量决定的函数，在爱因斯坦引力几何化时，也就不对应动力学自由度。但是反回来，如果度规协变微商不是零，那至少要对应一个新的张量场，这个东西就叫做挠率，爱因斯坦引力中被忽视的部分。
坐标变换和微分映射
到目前为止，对曲面的研究貌似不需要引入新的东西，弯曲程度即“曲率”概念还没有出现。不妨回想一下，在YM场论中是怎么引入曲率的：在那里我们直到动力学才引入曲率，方案是在作用量中加入曲率内积这个规范不变项。这么看来，曲率是应该被重视的，因为它至少是变换下协变的。所谓几何研究的就是变换操作下的不变量（于是乎，协变量）。另一个角度看曲率也应该引入：对于曲线的研究最终是一套关于曲率、挠率的方程。在前文我们大量使用“曲面”这个词，严格说来应该是“流形”，而在这里说的曲线，指的就是曲线。这个差别很有意思，单参数微分流形有它的特殊之处，值得我们用来做“探针”大书特书，在此之上，引出来测地线、方向曲率、Lie移动这些概念。虽然联络提供了一种连接不同位置处张量场的方法，严格说来，我们却不得不做张量场沿着张量场的移动。这不是不行，只是麻烦，而人最怕麻烦。平移不是不能做，一个技巧是借助测地线，因为延测地线平移的时候，测地切向本身是确定的，因此其他矢量场与它的夹角也不会变，也正因为这个原因，在球面上的平移是很容易做的。对于一般的情况，这个就不简单了。
